新疆专升本复习资料数学2--一元函数积分学知识点睛（定积分）

一元函数积分学知识点睛（定积分）

知识结构：

必备基础知识

★定积分的定义：设在上有界——理解即可

（1）大化小（把大曲边梯形分为n个小曲边梯形）：,在中任意插入若干个分点：，

把区间分割成n个小区间,,,

各小区间的长度依次为.

（2）常代变（用小矩形近似的代替每一个小曲边梯形）：在每个小区间上任取一点作函数值与小区间长度的乘积,

（3）近似和（n个小矩形的面积之和近似的等于大曲边梯形的面积）：作和式

（4）取极限（无限细分，得到大曲边梯形的面积）：记如果不论对怎样的分法,也不论在小区间上点怎样取法,只要当时,和总趋于确定的极限I,我们就称这个极限I为函数在区间上的定积分,记为

，

其中叫做被积函数,叫做被积表达式,x叫做积分变量,叫做积分区间.

★定积分的几何意义：——理解即可

在区间[a,b]上,当f(x)³0时,积分在几何上表示由曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积;当f(x)£0时,由曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;

★定积分的性质——红色部分要掌握

两点规定:

(1)当a=b时,.

(2)当a>b时,.

性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即

.

性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即：.

性质 3  如果将积分区间分成两部分 则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和 即：.

性质4如果在区间[ab]上f(x)º1则：.

性质5如果在区间[a, b]上f(x)³0,则：(a<b).

推论1如果在区间[a, b]上f(x)£g(x)则：(a<b).

推论2(a<b).

性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最小值,则

(a<b).

性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续,则在积分区间[a, b]上至少存在一个点,使下式成立:.

★积分上限函数

设函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且设x为[a,b]上的一点. 我们把函数f(x)在部分区间[a,x]上的定积分称为积分上限的函数.它是区间[a,b]上的函数,记为：F(x),或F(x)=.

积分上限函数的导数

定理如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数F(x)在[a,b]上具有导数,并且它的导数为：

F¢(x)(a£x<b).

★牛顿--莱布尼茨公式

定理如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则

.

此公式称为牛顿--莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式.

★无穷区间上的广义积分的概念

（1）函数在无穷区间[a,+¥)上的广义积分的定义：

.

在广义积分的定义式中,如果极限存在,则称此广义积分收敛;  否则称此广义积分发散.

（2）函数在无穷区间(-¥,b]上的广义积分的定义：

（3）函数在无穷区间(-¥,+¥)上的广义积分的定义：

主要考察知识点和典型例题：

考点一：变上限积分求导

变上限积分主要考查它的求导性质，考试时遇到变上限积分的问题都要进行求导，主要的考查题型是：直接给一个变限积分，进行求导；定积分求导；含有变限积分的极限问题。

典型例题求.

解根据变上限积分的求导公式，变上限积分求导就等于被积函数：

典型例题

解：解此题需要注意，不是积分上限函数，而是常数，所以＝0。

典型例题求.(分析:这是型不定式,应用洛必达法则.)

解

故

考点二：利用莱布尼兹公式直接计算

根据牛—莱公式，计算定积分就是计算不定积分，区别在于不定积分加常数C,定积分加积分区间，定积分的计算方法和不定积分的计算方法没有什么区别，只需要注意积分限的变化。

典型例题

解由于arctanx是的一个原函数,所以