新疆专升本复习资料数学2--一元函数积分学知识点睛（定积分）2

考点三：第一换元法（凑微分法）（积分上下限可保持不变）

定积分的第一换元法和不定积分的第一换元法没有太大的区别，只要按照步骤仔细计算即可。

（1）直接凑（能在积分基本公式中找到相近的积分公式）

典型例题

解：＝sin2x

＝

（2）间接凑（先凑微分，再凑公式）（被积函数中含有导数关系）——重点

典型例题计算定积分（的导数是）

解：

往年真题＝_____________

解：

典型例题设为连续函数，试证：

证：＝

考点四：第二类换元法（目的是为了去掉被积函数中的根号）

（1）根式换元————需要掌握

特点：被积函数中含一般根式，直接换元，根号是谁就换谁

典型例题求定积分

解令则当时，当时，从而

（2）三角换元————作为了解

特点：被积函数中含根式换元不能去掉根号

结论：三角代换的目的是化掉根式,其一般规律如下:当被积函数中含有

a)可令

b)可令

典型例题求定积分

解令则

由换元积分公式得

【注】（1）由于换元中积分变量发生了变化，所以其对应的积分上下限也会发生变化，定积分的第二换元法需要注意积分上下限的变化；

（2）定积分的计算不需要回代。

考点五：定积分的分部积分法

或.

定积分的分部积分法主要是用来计算两个函数乘积的定积分，计算过程和不定积分的分部积分没有什么大的区别，只是要注意积分过程中得到的每一部分都有积分上下限。

典型例题计算

解：

考点六：利用函数的奇偶性计算

利用函数的奇偶性计算定积分是一种特殊的计算定积分的方法，一般常见于填空和选择题，做题时主要是注意其使用条件和结论。

【注】（1）积分区间必须关于原点对称；

（2）被积函数必须具有奇偶性。

定理：当在上连续,则

(1)当为偶函数,有;

(2)当为奇函数,有.

典型例题＝（B）。

A．B．C．D．

解：在积分中，积分区间[-1,1]关于原点对称，被积函数为奇函数，所以＝0。

考点七：无穷区间上的广义积分——一般性掌握

无穷区间上的广义积分是积分学中的一种特殊情况，往年考查较少，掌握时主要侧重计算简单函数的广义积分即可。

解题思路：其定义就是计算方法：先把积分中的无穷换作常数，计算一个定积分，然后令常数（、），取极限即可。

典型例题计算广义积分

解题思路：先把换成任意常数，计算定积分，然后令，取极限

解：对任意的有

于是

因此

典型例题讨论广义积分的敛散性

解

因此，当时，题设广义积分收敛，其值为当时，题设广义积分发散.

【注】这个题目的计算过程不是重点，主要是记住这个结论。